Riesenseifenhaut

In mehreren Behältern mit Seifenlauge liegen zu unterschiedlichen Formen gebogene Drähte. Holt man sie aus den Behältern heraus, so bilden sich in den Drahtformen schimmernde Seifenhäute, die eine entscheidende Eigenschaft gemeinsam haben: Die Häute sind bestrebt, ihre Oberflächenspannung zu minimieren, und nehmen deshalb die (lokal) kleinstmöglichen Flächen zwischen den Drähten ein.

Abbildung 1
Abbildung 2

Die Riesenseifenhaut im ERLEBNISLAND MATHEMATIK bildet sich zwischen einer Wanne mit Seifenlauge, in die die Besucher hineinsteigen, und einem großen kreisförmigen Drahtring, den sie an einem Seil aus der Wanne nach oben ziehen. Mit etwas Geschick gelingt es, eine anfangs zylinderförmige Seifenhaut so weit in die Höhe zu ziehen, dass die Besucher vom Fuß bis zum Kopf ringsherum von dem hauchdünnen Film umgeben sind.

Auch die Riesenseifenhaut ist allerdings bestrebt, ihre (lokale) Fläche und damit die Oberflächenspannung zu minimieren. Deshalb verjüngt sich die Zylinderform in der Mitte und zieht sich zu einer immer schlankeren Taille zusammen, bis die Haut spätestens nach einigen Sekunden einfach zerplatzt.


Und nun … die Mathematik dazu:

Schon in der Mitte des 18. Jahrhunderts haben die Mathematiker Leonhard Euler (1707–1783) und Pierre-Louis Moreau de Maupertuis (1698–1759) festgestellt, dass die Natur um größtmögliche Sparsamkeit bemüht ist. Sie strebt stets die Zustände an, die den kleinsten Aufwand an Energie und Material erfordern. Die ein Jahrhundert später erstmals von dem belgischen Physiker und Fotopionier Joseph A. Plateau (1801–1883) untersuchten Seifenhäute bestätigen dieses Naturgesetz. Auch die kugelförmigen Seifenblasen umhüllen ein maximales Volumen mit der minimalen Oberfläche. Derartige Flächen werden als Minimalflächen bezeichnet.

Beispielsweise können solche Minimalflächen in folgender Weise erzeugt werden. Man betrachte die sogenannte Kettenlinie, die entsteht, wenn man die beiden Enden einer Kette in gleicher Höhe aufhängt (siehe Abbildung 3):

Abbildung 3: Die Kettenlinie

Mathematisch ist diese Kettenlinie durch den sogenannten Cosinus hyperbolicus definiert:

    \[y=f(x)=\cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}.\]

(x\in\mathbb R eine reelle Variable). Dreht man nun diese Kurve um 90°, so erhält man das folgende Diagramm (Abbildung 4):

Abbildung 4: Gedrehte Kettenlinie

Nun lassen wir diese Kurve um eine senkrechte Achse an der „Bauchseite“ rotieren. Dabei entsteht dann eine Rotationsfläche, die der Idealform der Riesenseifenhaut entspricht.

Abbildung 5: Katenoid

Diese ebenfalls schon von Leonard Euler beschriebene Fläche wird auch als Kettenfläche oder Katenoid bezeichnet. Sie ist definiert durch die Gleichung

    \[\sqrt{x^2+y^2}=c\cdot\cosh(z/c)\]

mit einem reellen Parameter c>0.

Abbildung 6: Riesenseifenhaut im ERLEBNISLAND MATHEMATIK

Literatur

[1] Beutelspacher, A.: Mathematik zum Anfassen, Gießen, 2005.

[2] Hildebrandt, St. A.: Tomba, Kugel, Kreis und Seifenblasen, Optimale Formen in Geometrie und Natur, Basel, 1996.

[3] Jacobi, J.: Minimalflächen, Universität zu Köln, 2007.

[4] Nitsche, J.C.C.: Vorlesungen über Minimalflächen, Berlin / Heidelberg, 1975.