Platonische Körper

Die Platonischen Körper (oder: ideale Körper, reguläre Polyeder„Vielflächner“) sind konvexe Körper mit einer größtmöglichen Regelmäßigkeit, die nach dem griechischen Philosophen Platon (427–347 v. Chr.) benannt wurden. (Dabei heißt ein Körper konvex, wenn mit je zwei seiner Punkte P und Q auch alle Punkte auf der Verbindungsstrecke \overline{PQ} zu ihm gehören.)

Diese („größtmögliche“) Regelmäßigkeit besteht darin, dass bei jedem dieser Körper alle Seitenflächen zueinander kongruent („deckungsgleich“) sind und dass diese in jeder Ecke in gleicher Weise zusammentreffen.

Es gibt genau fünf Platonische Körper:

Abbildung 1: Die fünf Platonischen Körper

Im Einzelnen haben diese fünf Körper die folgenden Eigenschaften:

 SeitenflächenAnzahl der FlächenAnzahl der EckenAnzahl der KantenAnzahl der Flächen an einer Ecke
Tetraedergleichseitige Dreiecke4463
Würfel (Hexameter)Quadrate68123
Oktaedergleichseitige Dreiecke86124
Dodekaederregelmäßige Fünfecke1220303
Ikosaedergleichseitige Dreiecke2012305
Abbildung 1: Die Eigenschaften der fünf Platonischen Körper

Die Platonischen Körper spielen geistesgeschichtlich von der griechischen Antike über das Mittelalter bis in unsere Zeit hinein eine bedeutende Rolle. Den Schülern des Pythagoras waren im 6. Jahrhundert v. Chr. Tetraeder, Hexaeder (Würfel) und Dodekaeder wohlbekannt. Theaitetos (4. Jh. v. Chr.) waren auch Oktaeder und Ikosaeder bekannt.

Platon hat die später nach ihm benannten Körper in seinem Werk Timaisos ausführlich beschrieben und den vier Elementen, die nach damaliger Auffassung die „Weltbausteine“ waren, in folgender Weise zugeordnet:

  • Tetraeder — Feuer;
  • Hexaeder (Würfel) — Erde;
  • Oktaeder — Luft;
  • Ikosaeder — Wasser.

Das später hinzu gekommene fünfte Element „Äther“ (das in der Antike als „oberer Himmel“ interpretiert wurde und dessen Existenz bis in das 19. Jahrhundert eine besondere Rolle in der Physik spielte) wurde dem Dodekaeder zugeordnet.

Berühmt ist auch der Versuch des Astronomen Johannes Kepler (1571–1630), im Jahre 1596 in seinem Werk Mysterium Cosmographicum, die (mittleren) Bahnradien der sechs damals bekannten Planeten (Merkur, Venus, Erde, Mars, Jupiter, Saturn) durch eine bestimmte Reihenfolge der fünf Platonischen Körper und ihrer Innen- und Außenkugeln zu beschreiben:

Abbildung 2: Modell des Sonnensystems in Keplers Mysterium Cosmographicum (1596)

Und nun … die Mathematik dazu:

Bereits Euklid (etwa 300 v. Chr.) bewies in seinem berühmten Werk Die Elemente, dass es genau fünf dieser Platonischen Körper gibt.

Dazu führen die folgenden Überlegungen:

Die Summe der Innenwinkel in einem n-Eck ist (n-1)\cdot180^\circ. Also hat jeder Innenwinkel in einem regulären n-Eck den Wert

    \[\frac{n-2}{n}\cdot 180^\circ.\]

(z.B. bei einem gleichseitigen Dreieck 60°, bei einem Quadrat 90°, bei einem regelmäßigen Fünfeck 108° usw.)

Bezeichnet m die Anzahl der Flächen, die in einer Ecke des Platonischen Körpers aufeinanderstoßen, so muss die Summe derer Winkel kleiner als 360° sein, d.h.

    \[m\cdot\frac{n-2}{n}\cdot 180^\circ<360^\circ.\]

Daraus folgt nun m(n-2)<2n, was wir weiterhin zu

    \[(m-2)\cdot(n-2)<4\quad (\ast)\]

umstellen.

Da nun n>2 ist (jede der begrenzenden Flächen hat mindestens drei Ecken) und m>2 (in jeder Ecke des Körpers treffen mindestens drei Flächen zusammen), erfüllen nur die folgenden fünf Paare (m, n) natürlicher Zahlen (jeweils größer als 2) die Ungleichung (\ast):

  • (3,3) — Tetraeder;
  • (4,3) — Oktaeder;
  • (5,3) — Ikosaeder;
  • (3,4) — Würfel;
  • (3,5) — Dodekaeder.

Dies beendet den Beweis.


Literatur

[1] Adam, P. und Wyss, A.: Platonische und Archimedische Körper, ihre Sternformen und polaren Gebilde, Stuttgart, 1994.

[2] Beutelspacher, A. u.a: Mathematik zum Anfassen, Mathematikum, Gießen, 2005.

[3] Euklid: Die Elemente, Buch XIII, Hrsg. u. übs. v. Clemens Thaer, 4. Auflage, Frankfurt am Main, 2003.

[4] Kepler, J.: Mysterium cosmographicum. De stella nova, Hrsg. Max Caspar, München, 1938.

[5] Tiberiu, R.: Reguläre und halbreguläre Polyeder, Berlin, 1987.