Musikalisches Würfelspiel

Es war der (heutzutage nahezu unbekannte) Komponist und Musikwissenschaftler Johann Philipp Kirnberger (1721–1783), der 1757 durch seine Veröffentlichung „Der allezeit fertige Polonoisen- und Menuettenkomponist“ musikalische Würfelspiele als beliebten Zeitvertreib in Mode brachte. Zuvor hatte der zweite Sohn Johann Sebastian Bachs, Carl Philipp Emanuel Bach (1714–1788), mit seiner Schrift „Einfall, einen doppelten Contrapunct in der Octave von sechs Tacten zu machen, ohne die Regeln davon zu wissen“ die Idee verwirklicht, den Zufall beim Komponieren einzubeziehen.

Das bekannteste derartige musikalische Würfelspiel wird Wolfgang Amadeus Mozart (1756–1791) zugeschrieben. Seine „Anleitung so viel Walzer oder Schleifer mit zwei Würfeln zu componiren so viel man will ohne musikalisch zu seyn noch etwas von der Composition zu verstehen“ wurde 1793 nach seinem Tode im Verlag von Johann Julius Hummel (Berlin-Amsterdam) veröffentlicht.

Das den musikalischen Würfelspielen zugrunde liegende Prinzip besteht darin, ein gleichförmig und periodisch ablaufendes Musikstück zu erzeugen, wobei die Auswahl der Takte zufällig erfolgt, etwa durch Würfeln. Bei den dieser zufälligen Auswahl zugrunde liegenden Kompositionen handelt es sich i.A. um Walzer, Polonaisen oder Menuette.

Mittels des Experiments „Musikalisches Würfelspiel“ im ERLEBNISLAND MATHEMATIK, kann die Idee Wolfgang Amadeus Mozarts, aus 176 Takten, die in zwei Tabellen (s.u.) angeordnet sind, durch 16-maliges Würfeln 16 Takte auszuwählen, und damit ein „neues“ Musikstück (Walzer) zu komponieren, realisiert werden. Auch akustisch!

Man benötigt zwei Würfel und die folgenden zwei Tabellen:

 I. II.III.IV.V.VI.VII.VIII.
29622141411051221130
3326128631464613481
46995158131535511024
54017113851612159100
61487416345809736107
7104157271671546811891
815260171539913321127
911984114501408616994
1098142421567512962123
11387165611354714733
12541301010328371065
Tabelle 1
 I.II.III.IV.V.VI.VII.VIII.
27012126991124910914
311739126561741811683
46613915132735814579
5901767346716052170
6251436412576136193
7138711502910116223151
816155571754316889172
912088481665111572111
1065771982137381498
111024311641445913778
123520108921212444131
Tabelle 2

Die römischen Ziffern über den 8 Spalten der beiden Tabellen zeigen die 8 Takte der beiden Walzerteile an. Die arabischen Ziffern geben die Nummern der Takte an, die Zahlen 2–12 in den „Kopfspalten“ der Tabellen die Summe der Augenzahlen der beiden Würfel. Für die ersten 8 zu erwürfelnden Takte verwendet man Tabelle 1, für die 8 weiteren Takte Tabelle 2.

Falls der erste Wurf der beiden Würfel beispielsweise als Summe der Augenzahlen die Zahl 3 ergibt (d.h. einer der beiden Würfel zeigt die Augenzahl „1“, der andere Würfel die Zahl „2“), dann findet man in der ersten Spalte (und 3. Zeile) die Nummer des Taktteiles: 32. Ergibt eine erste Wiederholung des Würfelvorganges z.B. als Summe der beiden gewürfelten Augenzahlen die Zahl 10, so setzt man mit dem Taktteil 142 fort. Diese Prozedur ist fortzusetzen, wobei nach dem 8. Würfelexperiment der Wechsel von der ersten zur zweiten Tabelle (automatisch) erfolgt.


Und nun … die Mathematik dazu:

Natürlich stellt man sich bei diesem musikalischen Experiment die Frage, wie groß die Anzahl der verschiedenen, aus 16 Takten bestehenden Stücke ist. Die Antwort liefert die Kombinatorik (systematisches „Abzählen“): Sie ist genau $$11^{16}= 45.949.729.863.572.161,$$

denn jedes Musikstück (im ERLEBNISLAND MATHEMATIK ein Walzer) besteht aus 16 Takten und die Anzahl zur möglichen Auswahl für jeden dieser Takte ist 11. Das ist eine unser Vorstellungsvermögen überschreitende große Anzahl von Möglichkeiten. In „Mathematik zum Anfassen“ des Mathematikums Gießen findet sich folgende Interpretation dieser Zahl $11^{16}$:

„Wenn Mozart von Geburt an in jeder Sekunde eines der möglichen Stücke gespielt hätte, und wenn er sein ganzes Leben nichts anderes gemacht hätte, als diese Stücke zu spielen und wenn er bis heute leben würde — dann hätte er eben noch nicht annähernd ein Promille (0,1%) aller Möglichkeiten geschafft.“

Fazit: Jeder Besucher, der mit den zwei Würfeln das Experiment ausführt, „komponiert“ mit an Sicherheit grenzender Wahrscheinlichkeit einen neuen Mozartschen Walzer!


Literatur

[1] Beutelspacher A. u.a., Mathematik zum Anfassen, Mathematikum Gießen, 2005.

[2] Mozart, W.A.: Mathematisches Würfelspiel, Hrsg. K.-H. Taubert, Schott Musik International, Mainz, 1956.

[3] Kirnberger, J.Ph.: Der allezeit fertige Polonoisen- und Menuettencomponist, publizert bei Christian Friedrich Winter, Berlin, 1757.

[4] Reuter, Ch.: Musikalische Würfelspiele, 1 CD-ROM … von Mozart, Haydn und anderen großen Komponisten, Schott Musik International, Mainz, 2001.