Möbiusstraße

Das Möbiusband (auch: Möbiusschleife oder Möbius’sches Band) ist eine (zweidimensionale) Fläche, die nur eine Kante und nur eine Seite besitzt:

Abbildung 1: Das Möbiusband

Das Möbiusband wurde im Jahre 1858 unabhängig voneinander von dem Göttinger Professor für Mathematik und Physik, Johann Benedict Listing (1808–1892), und dem Astronomen August Ferdinand Möbius (1790–1868) beschrieben. Mathematisch gesehen ist es eine nicht-orientierbare Mannigfaltigkeit.

Die Konstruktion eines Möbiusbandes ist in einfacher Weise nachvollziehbar, wenn man die vergleichbare Konstruktion eines „normalen“ Ringes zum Vergleich heranzieht: Aus einem Blatt Papier werden zwei lange Streifen (gleicher Breite) mit parallelen Rändern herausgeschnitten. Bei dem ersten — dem Vergleichsstreifen — werden die beiden Enden glatt zu einem „normalen“ Ring aneinandergefügt (z.B. geklebt). Der zweite Streifen, das eigentliche Möbiusband, wird vor dem Zusammenfügen um eine halbe Drehung (180°) verdreht. So wird das Möbiusband zu einem kleinen faszinierenden Spielzeug, das man problemlos herstellen kann.

Nun kann man besondere Phänomene beobachten: Das ringförmig verdrehte Band, obwohl es auf einfache Weise aus einem Streifen Papier mit ursprünglich viereckigem Rand und eindeutig definierbarer Unterfläche und Oberfläche entstand, hat nur noch einen Rand und eine Seite.

Eine andere Betrachtungsweise führt zu der Feststellung, dass es auf dem Möbiusband kein „Innen“ und kein „Außen“ gibt, ebenso wie kein „Oben“ und „Unten“.

Bemerkenswert ist weiterhin die nachfolgend beschriebene Eigenschaft:

Ein Möbiusband kann längs seiner Mittellinie zerschnitten werden, ohne dass es dabei in zwei getrennte, halb so breite Ringe zerfiele, wie es beim „normalen“ Ring automatisch der Fall ist. Die innere Verdrehung beträgt dann nicht mehr nur 180°, sondern 360°. Wiederholt man dieses Zerschneiden erneut, zerfällt das Möbiusband in zwei getrennte, ineinander verschlungene einzelne Bänder.

In der darstellenden Kunst finden sich inzwischen berühmt gewordene Darstellungen des Möbiusbandes, z.B. die des holländischen Graphikers Maurits Cornelis Escher (1963), der „Koloss von Frankfurt“ von Max Bill (1908–1994) und das Bild des Dresdner Professors für Geometrie, Gert Bär („Katastrophe im Möbiusband“, 1968).

Das Möbiusband im ERLEBNISLAND MATHEMATIK wird zur Illustration von einem kleinen Fahrzeug, dem Möbiusmobil (siehe Abbildung 1), befahren (eine technische Meisterleistung der Firma …tronikDesign). Es ist darüber hinaus mit einer Minikamera ausgestattet, deren Bilder fortlaufend auf einem Monitor übertragen werden. Übrigens werden auch Förderbänder und Antriebsriemen als Möbiusbänder hergestellt, damit die vermeintliche Ober- bzw. Unterseite gleichmäßig abgenutzt wird.

Abbildung 2: Das Möbiusmobil auf dem Möbiusband
Abbildund 3: Die Möbiusstraße
Abbildung 4

Und nun … die Mathematik dazu:

Das Möbiusband ist eine zweidimensionale Teilmenge (Fläche) im dreidimensionalen Raum \mathbb R^3, die durch die folgende Parameterdarstellung beschrieben werden kann:

    \[\begin{pmatrix} x\\ y\\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos(\alpha)\left(1+\frac{r}{2}\cos(\alpha/2)\right)\\  \sin(\alpha)\left(1+\frac{r}{2}\cos(\alpha/2)\right)\\ \frac{r}{2}\sin(\alpha/2)\end{pmatrix}.\]

Hierbei gilt 0\leq\alpha\lt 2\pi („Umlaufparameter“) und −1\lt r\lt 1 („radialer Parameter“).


Literatur

[1] Greenland, C.: Begegnungen auf dem Möbiusband, Roman, München, 1996.

[2] Herges, R.: Möbius, Escher, Bach — Das unendliche Band in Kunst und Wissenschaft, in: Naturwissenschaftliche Rundschau (6/58), Darmstadt, 2005.

[3] Paenza, A.: Mathematik durch die Hintertür — Band 2: Vom Möbiusband zum Pascalschen Dreieick — neue spannende Ausflüge in die Welt der Zahlen, München, 2009.