Mirage

Das Exponat „Mirage“ zeigt eine interessante optische Täuschung: Ein Kristall liegt wie auf einem Präsentierteller vor einem Beobachter. Aber greift man nach ihm, so greift man schlicht — ins Leere. Wie ist das möglich? Im nachfolgenden Text wollen wir ein wenig näher darauf eingehen, was der mathematische Hintergrund hinter dieser Täuschung ist.

Das Exponat benutzt zwei Parabolspiegel, die den seltsamen Effekt erzeugen. Solche Spiegel kommen zum Beispiel auch in Spiegelteleskopen und bei der Satellitenkommunikation zum Einsatz.

Abbildung 1: Das Exponat „Mirage“

Und nun … die Mathematik dazu:

Was ist ein Parabolspiegel und warum ist er so nützlich? Um dies zu verstehen, müssen wir erst einmal die Parabel näher unter die Lupe nehmen: Die Standardparabel, die aus dem Schulunterricht bekannt ist, wird durch die Gleichung y=y(x)=x^2 beschrieben. Wir wollen nun die Eigenschaften dieser Kurve näher untersuchen. Falle dazu ein Lichtstrahl \mathbf{s}_x (x\in\mathbb R) von oben ein; dieser kann beschrieben werden durch die Gleichung

    \[\mathbf{s}_x(t)=\begin{pmatrix} x\\ -t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x\\ 0\end{pmatrix}-t\mathbf{e}_2.\]

Hierbei ist t\in\mathbb R ein reeller Parameter. Im Punkte A=(x,x^2) wird dieser Strahl \mathbf{s}_x nun reflektiert. In diesem Punkt hat die Tangente den normierten Richtungsvektor \mathbf{t}=\frac{1}{\sqrt{1+4x^2}}(1,2x). Damit ist der Normalenvektor gleich \mathbf{n}=\frac{1}{\sqrt{1+4x^2}}(-2x,1). Wir erhalten also für den Richtungsvektor des ausfallenden Strahles \mathbf{s}_x':

    \[v=-\mathbf{e}_2+2\langle\mathbf{e}_2,\mathbf{n}\rangle\mathbf{n}=\frac{1}{1+4x^2}\begin{pmatrix} -4x\\ 1-4x^2\end{pmatrix}.\]

Hierbei ist \langle\mathbf{u},\mathbf{v}\rangle das Skalarprodukt der Vektoren \mathbf{u} und \mathbf{v}. Damit ist der ausfallende Strahl \mathbf{s}_x' gegeben durch die Gleichung

    \[\mathbf{s}_x'(t)=\begin{pmatrix} x\\ x^2\end{pmatrix}+\frac{t}{1+4x^2}\begin{pmatrix} -4x\\ 1-4x^2\end{pmatrix}.\]

Setzen wir in dieser Gleichung nun die x-Koordinate auf null, so erhalten wir t_0=\frac{1+4x^2}{4}. Damit ergibt sich

    \[F=\mathbf{s}_x'(t_0)=\begin{pmatrix} 0\\ x^2+\frac{1}{1+4x^2}\cdot\frac{1+4x^2}{4}(1-4x^2)\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0\\ 1/4\end{pmatrix}.\]

Alle von oben einfallenden Strahlen \mathbf{s}_x (x\in\mathbb R) werden also so reflektiert, dass der zugehörige ausfallende Strahl \mathbf{s}_x' durch den Brennpunkt F verläuft. Außerdem können wir noch die Länge der Strecke \overline{AF} berechnen:

    \[\lvert\overline{AF}\rvert=\left\lvert\begin{pmatrix} x\\ x^2\end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 0\\ 1/4\end{pmatrix}\right\rvert=\sqrt{x^2+(x^2-1/4)^2}=\sqrt{x^4+1/2x^2+1/16}=x^2+1/4.\]

Diese Strecke hat also genau dieselbe Länge wie der Abstand vom Punkt A zu der Horizontalen y=-1/4 (der sogenannten Direktrix der gegebenen Parabel) ist.


Funktionsweise des Exponats

Das Exponat „Mirage“ macht sich die obigen beiden Eigenschaften der Parabel zunutze. Dazu rotiert man zunächst die Standardparabel um die z-Achse und erhält so die Gleichung

    \[z=z(x,y)=x^2+y^2\]

eines sogenannten Rotationsparaboloids P. Dieser wird auch für Spiegelteleskope eingesetzt. Was ist nun die Idee hinter dem Exponat? Wir wollen dies nachfolgend beschreiben. Das Prinzip, das dahinter steht, kann auch zur Übertragung von anderen Wellen (z.B. Schallwellen) eingesetzt werden:

Wir nehmen zwei Parabolspiegel P_1 und P_2. Sagen wir, der Spiegel P_1 sei identisch mit dem Standardrotationsparaboloid P. Der Spiegel P_2 steht nun dem Spiegel P_1 in einem gewissen Abstand d\gt 0 gegenüber. Er wird also beschrieben durch die Gleichung z=z(x,y)=d-(x^2+y^2). Wenn man die beiden Parabolspiegel P_1 und P_2 beliebig weit fortsetzen würde (d.h. für all x,y\in\mathbb R) schnitten sie sich also in dem Kreis K, der gegeben ist durch die Parametrisierung

    \[\mathbf{x}(\varphi)=\begin{pmatrix} R_0\cos(\varphi)\\ R_0\sin(\varphi)\\ d/2\end{pmatrix}\]

für einen Winkel \varphi\in[0,2\pi) mit R_0=\sqrt{d/2}. Für reale Zwecke, brauchen wir die beiden Spiegel aber nur bis zu einem gewissen Radius R\leq R_0 fortsetzen (d.h. für x^2+y^2\leq R^2).

Seien F_1 bzw. F_2 die jeweiligen Brennpunkte von P_1 und P_2. Dann gilt gemäß der obigen Betrachtung

    \[F_1=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1/4\end{pmatrix}\]

und

    \[F_2=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ d-1/4\end{pmatrix}.\]

Wir gehen nun von einem Strahl aus, der im Brennpunkt F_1 startet. Sagen wir, dieser sei gegeben durch die Gleichung

    \[\mathbf{s}(t)=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 1/4\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} \cos(\varphi)\\ \sin(\varphi)\\ a\end{pmatrix}.\]

Hierbei misst der Parameter a den Anstieg des Strahles \mathbf{s}. Damit dieser auf den Spiegel P_1 trifft, benötigen wir einen relativ kleinen Anstieg von a\leq\frac{R^2-1/4}{R}. Wird der Strahl \mathbf{s} nun an P_1 reflektiert, verläuft der ausfallende Strahl danach — gemäß den obigen Überlegungen — parallel zur z-Achse in einem Abstand \leq R. Dieser an P_1 reflektierte Strahl wird dann wiederum von P_2 reflektiert, sodass der ausfallende Strahl dann (wieder wie oben) genau durch den Brennpunkt F_2 verläuft. Mit der gleichen Begründung wird auch ein Strahl \mathbf{s}', der in F_2 startet — so sein Anstieg a' groß genug ist (nämlich a'\geq-\frac{R^2-1/4}{R}) — nach zwei Refexionen in F_1 ankommen.

Für Anwendungen ist es noch wichtig zu wissen, wie lang die dabei zurückgelegte Strecke des obigen Strahles \mathbf{s} bei seinem Weg von F_1 nach F_2 ist. Nehmen wir dazu an, dass dieser in den Punkten Q_1 und Q_2 reflektiert wird (die Gerade Q_1Q_2 ist also parallel zur z-Achse verläuft). Weiter sei r der Abstand von Q_1 (und damit Q_2) zur z-Achse. Dann gilt, wie oben erläutert:

    \[\lvert\overline{F_1Q_1}\rvert=r^2+1/4=\lvert\overline{F_2Q_2}\rvert.\]

Wenn wir also den Gesamtweg, den der in F_1 startende Strahl \mathbf{s} von F_1 nach F_2 zurücklegt, berechnen, erhalten wir:

    \[\lvert\overline{F_1Q_1}\rvert+\lvert\overline{Q_1Q_2}\rvert+\lvert\overline{F_2Q_2}\rvert=(r^2+1/4)+(d-2r^2)+(r^2+1/4)=d+1/2.\]

Diese Distanz ist also unabhängig von r.

Was sind nun die Anwendungen dieser Konstruktion? Zum Beispiel kann man auf diese Weise Schallwellen (oder andere Wellen) gut über eine weite Distanz d übertragen: Dazu setzt man die Schallquelle in den Punkt F_1. Die von dieser Quelle ausgesandten Schallwellen werden nun an den Parabolspiegeln P_1 und P_2 so reflektiert, wie wir es gerade hergeleitet werden. Dadurch konzentrieren sie sich wieder nach einer gewissen Zeit, die der Schall zum zurücklegen der Strecke von F_1 über die Reflexionspunkte Q_1 und Q_2 nach F_2 benötigt, im Brennpunkt F_2. Diese Zeit ist aber proportional zur Strecke \lvert\overline{F_1Q_1}\rvert+\lvert\overline{Q_1Q_2}\rvert+\lvert\overline{F_2Q_2}, welche ja — wie oben hergeleitet — die konstante Länge d+1/2 hat (unabhängig vom ausgehenden Strahl). Damit findet auch keine Verzerrung statt: Das übertragene Audiosignal trifft im Punkt F_2 von allen Richtungen zur gleichen Zeit ein. Diese Funktionsweise wird zum Beispiel bei Satellitenschüsseln ausgenutzt.

Auch das Exponat „Mirage“ benutzt diesen Trick — allerdings anders als bei der Radiowellenübertragung. Wohingegen bei dieser die Entfernung d zwischen den beiden Spiegeln besonders groß ist, ist sie bei unserem Exponat besonders klein: Setzen wir einmal d=1/4 (also genau auf die Brennweite). Diesmal legen wir unsere „Quelle“ nicht in den Brennpunkt F_1, sondern in F_2=(0,0,0). Ebenso lassen wir die Spiegel einander berühren, d.h. R=R_0=\frac{1}{2\sqrt{2}}. Geht nun ein Strahl

    \[\mathbf{s}(t)=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 0\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix} \cos(\varphi)\\ \sin(\varphi)\\ a\end{pmatrix}\]

von F_2 aus und ist der Anstieg a\geq-\frac{R^2-1/4}{R}=\frac{1}{2\sqrt{2}} groß genug, so wird \mathbf{s} erst an P_2 und dann an P_1 reflektiert und „endet“ schließlich in F_1=(0,0,1/4). Unabhängig von Anstieg und Richtung wird dabei immer dieselbe Strecke von 3/4 zurückgelegt. Schneidet man also in P_2 ein kleines kreisförmiges Loch um F_1 herum aus, so erscheint ein Objekt (beim Exponat: ein Kristall), das sich eigentlich im Ursprung F_2=(0,0,0) befindet, dem Beobachter plötzlich so als läge es im darüberliegenden Punkt F_1=(0,0,1/4). Diesen einfachen Trick macht man sich bei dem Exponat zunutze.

An dieser Stelle sei noch bemerkt, dass sich bei zweimaligem Spiegeln auch die Orientierung zweimal umkehrt, sodass der Kristall auch nicht spiegelverkehrt erscheint.

Wenn Du noch ein schönes anschauliches Erklärungsvideo zu den obigen Thematik sehen willst, schau Dir doch das Video [1] des YouTubers Mathologer an.

Abbildung 2: Tatsächliches Bild und Spiegelung des Kristalls

Literatur

[1] https://www.youtube.com/watch?v=0UapiTAxMXE

[2] https://de.wikipedia.org/wiki/Parabel_(Mathematik)

[3] https://de.wikipedia.org/wiki/Paraboloid

[4] https://de.wikipedia.org/wiki/Parabolantenne