Goldener Schnitt

Der Goldene Schnitt (lateinisch: sectio aurea) oder auch „Göttliche Teilung“ (lateinisch: proportio divina) besteht in der Teilung einer Strecke \overline{AB} in zwei Teilstrecken \overline{AM} und \overline{MB}, sodass sich die Länge der längeren Teilstrecke \overline{AM} zu der Länge der kürzeren Teilstrecke \overline{MB} so verhält wie die Länge der gesamten Strecke \overline{AB} zur Länge der längeren Teilstrecke \overline{AM} (vgl. Abbildung 1):

Abbildung 1: Goldener Schnitt als Streckenverhältnis

Als Gleichung ausgedrückt, heißt das

    \[\lvert\overline{AM}\rvert:\lvert\overline{MB}\rvert=\lvert\overline{AB}\rvert:\lvert\overline{AM}\rvert\quad (\ast).\]

Diese Teilung einer Strecke im Verhältnis des Goldenen Schnitts ist seit Jahrtausenden bekannt und ist bis heute in Architektur und Kunst als ästhetisches Prinzip von besonderer Bedeutung. Die erste erhalten gebliebene genaue Beschreibung des Goldenen Schnittes stammt von Euklid (ca. 300 v. Chr.). Der Franziskanermönch Luca Pacioli di Borgo San Sepolcro (1445–1514), der im italienischen Perugia Mathematik lehrte, nannte diese Teilung die „Göttliche Teilung“. Die erste bekannte Berechnung des Goldenen Schnittes als näherungsweise 1,6180340 für das Verhältnis \lvert\overline{AM}\rvert:\lvert\overline{MB}\rvert (siehe Abbildung 1) teilte der Tübinger Professor Michael Maestlin im Jahre 1597 seinem früheren Schüler Johannes Kepler (1571–1630) mit.

Die heute übliche Bezeichnung Goldener Schnitt findet sich allerdings erstmalig in einem Mathematik-Lehrbuch von 1835, das von Martin Ohm (1792–1872) herausgegeben wurde.

Der Goldene Schnitt spielt sowohl in der Architektur, als auch in der bildenden Kunst eine erhebliche Rolle. So folgen viele Bauwerke der Antike (z.B. die Vorderfront des um 440 v. Chr. erbauten Parthenon-Tempels der Athener Akropolis), aber auch berühmte Bauwerke in späteren Jahrhunderten (z.B. die Torhalle des Klosters Lorsch (um 770), der Dom von Florenz (1294 Baubeginn), Notre Dame zu Paris (1163–1345) und das Alte Rathaus in Leipzig (1556–1557)) in ihren Proportionen dem Goldenen Schnitt (bei letzterem sind es die Abstände des Einganges unter dem Turm zu den beiden Seiten des Bauwerkes).

Außerdem werden zahlreiche Skulpturen griechischer Bildhauer der Antike als Zeugnisse für die Verwendung des Goldenen Schnitts angesehen, ebenso wie eine Reihe von Gemälden der Renaissance, u.a. die von Raffael, Leonardo da Vinci und Albrecht Dürer (z.B. sein Selbstbildnis von 1500 und der Kupferstich „Melencolia“ von 1514).

Der Goldene Schnitt findet auch deshalb immer wieder Bewunderung, weil er in der Natur zu beobachten ist, wie etwa bei der fünfzähligen Symmetrie von Glockenblumen, beim Efeuaralienblatt und dem Seestern. Auch am Körper des Menschen sind eine Reihe von Proportionen zu finden, die mit dem Goldenen Schnitt verbunden sind. Sie wurden erstmalig systematisch von Adolph Zeisig in der Mitte des 19. Jahrhunderts studiert. Berühmt geworden ist insbesondere die Tatsache, dass am menschlichen Körper der Bauchnabel die Körpergröße als Goldenen Schnitt teilt (siehe Exponat im ERLEBNISLAND MATHEMATIK).


Und nun … die Mathematik dazu:

Abbildung: Berechnung des Goldenen Schnittes

Setzen wir a\coloneqq\lvert\overline{AM}\rvert und b\coloneqq\lvert\overline{MB}\rvert, so ist \lvert\overline{AB}\rvert=a+b. Aus der obigen Gleichung (\ast) folgt also

    \[a:b=(a+b):a.\]

Setze nun \Phi\coloneqq a/b, dann ergibt sich daraus

    \[\Phi=a/b=(a+b)/a=1+b/a=1+\Phi^{-1}.\]

Multipliziert man dies mit \Phi, so erhält man die quadratische Gleichung \Phi^2-\Phi-1=0, welche die Nullstellen \Phi_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{5}}{2} hat. Da aber \Phi offensichtlich positiv ist, muss \Phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2} gelten. Dieser Wert wird auch oft als Goldene Zahl bezeichnet.


Literatur

[1] Pacioli, L.: Divina Proportione, Venedig, 1509.

[2] Beutelspacher, A., und Petri, B.: Der Goldene Schnitt, Heidelberg, Berlin, Oxford, 1996.

[3] Hemenway, P.: Divine Proportion. Phi in Art, Nature and Science, New York, 2005.