Dreiklangspolyeder

In der Musiktheorie des 19. Jahrhunderts wurden die Verwandtschaftsbeziehungen von Tönen und Dreiklängen mit Hilfe von zweidimensionalen Darstellungen studiert. Folgende Tonverwandtschaftstabelle findet sich in Arthur von Oettingens Abhandlung „Harmoniesystem in dualer Entwicklung“ von 1866. Nebeneinander stehende Töne sind Quint-verwandt und übereinander stehende Töne sind Großterz-verwandt. Oktav-Verwandtschaft wird in dieser zweidimensionalen Darstellung vernachlässigt und wäre bei Bedarf als eine dritte Dimension zu denken.

Abbildung 1: Tabelle nach Arthur von Oettingen

Die Darstellung bei Hugo Riemann (1914) ist geometrisch eine Scherung der obigen. Die Großterz-Achse zeigt hier nach rechts oben und die Kleinterz-Achse nach links oben.

Abbildung 2: Darstellung nach Hugo Riemann

Dreiklänge bestehen aus drei Tönen, und man kann sie daher als Dreiecke veranschaulichen. Dur-Dreiklänge, wie f-a-c, c-e-g oder g-h-d bilden „stehende“ Dreiecke und Moll-Dreiklänge, wie d-f-a, a-c-e oder e-g-h, bilden „hängende“ Dreiecke. In den folgenden Abbildungen werden Dur-Dreiklänge rot und Moll-Dreiklänge blau dargestellt.

Abbildung 3: Dur- und Moll-Dreiklänge als Dreiecke

Die drei Töne eines Dreiklanges haben in Bezug auf diesen verschiedene Bedeutungen. Wählt man irgendeinen Ton, so hat dieser Ton die Bedeutung des Grundtons in einem Dur-Dreiklang, der auch nach diesem Ton benannt wird. Derselbe Ton hat aber auch die Bedeutung des Terztons in einem anderen Dur-Dreiklang, sowie die des Quinttons in wieder einem anderen Dur-Dreiklang. Desgleichen spielt er diese drei Rollen in entsprechenden Moll-Dreiklängen. Die nachstehende Abbildung zeigt jene 6 Dreiklänge, in denen der Ton C in den genannten Bedeutungen vorkommt. In dem zugehörigen Knoten der Graphik stoßen sechs Dreiecke zusammen, deren Mittelpunkte die Grundzelle für ein sechseckiges Bienenwabenmuster bilden.

Abbildung 4: Rollen eines Tones in den verschiedenen Dreiklängen

Die Intervalle der Quinte und der großen Terz spannen eine Ebene auf, die sich unendlich weit erstreckt und die vollständig von Dur- und Molldreiklängen parkettiert wird (siehe die nachfolgende Abbildung 5). Wenn man die Kombinatorik der Tonbeziehungen mit einem solchen Modell beschreiben wollte, dann würde dies musikalisch bedeuten, dass man die Quint- und die Terzverwandtschaft als unabhängige Formen der Tonverwandtschaft ansieht.

Die kombinatorische Freiheit kann auf mehrere Weisen eingeschränkt werden. In der Notenschrift beispielsweise, sind Quinten und Terzen nicht unabhängig. Vielmehr entsprechen vier Quinten einer großen Terz (und zwei Oktaven). Töne und Dreiklänge gleichen Namens werden dann miteinander identifiziert.

Eine weitere Einschränkung des Repertoires an Tönen und Dreiklängen ergibt sich, wenn man dreifache Großterzen mit Oktaven identifiziert. Man spricht auch von enharmonischer Identifikation. Im Dreiklangspolyeder, das ja als Turm aus fünf Etagen konstruiert ist, entspricht jedem der sechs horizontalen Dreiecke, welche die Fußböden bzw. Decken der Etagen bilden, ein solcher Zyklus aus drei großen Terzen. Die dort konkret erklingenden Tonhöhen ergeben allerdings keinen Zyklus aufsteigender Terzen. Ein hier als große Terz beschriebenes Intervall erklingt konkret als große Sexte. Auch erklingen die Dreiklangs-Dreiecke in verschiedenen Umkehrungen, die hier nicht weiter thematisiert werden.

Abbildung 5: Die Ebene mit Dreiklängen parkettiert

Bei strikter Beschränkung auf 12 Töne und jeweils 12 Dur- und 12 Moll-Dreiklänge entsteht geometrisch ein Torus, der von 24 Dreiecken überdeckt wird. Das Dreiklangspolyeder mit seinen 30 Dreiecken ist ein Turm, dessen oberste Etage enharmonisch und oktav-äquivalent zur untersten Etage ist. Er ist nicht zu einem Ring geschlossen.

Abbildung 6: Torus aus zwölf Tönen

Abgesehen von dem kombinatorischen Überblick, den man mit Hilfe dieser Darstellungen erhalten kann, stellt sich die Frage nach ihrem Nutzen für die musikalische Analyse. Gibt es typische Dreiklangsfolgen in Musikstücken, denen aus geometrischer Sicht besondere Pfade auf dem Dreiklangspolyeder entsprechen?

Gefragt wird hier nach besonders „sparsamen“ Dreiklangsfolgen, bei denen in jedem Schritt nur ein Ton in einer Stimme geändert wird und bei dem dennoch ein neuer Dreiklang entsteht. Dazu gibt es von jedem Dreiklang aus immer drei Möglichkeiten:

Abbildung 7: Drei Möglichkeiten nach einem Dreiklang

Sie werden als Quintwechsel (z.B. C-Dur — C-Moll), Terzwechsel (z.B. C-Dur — A-Moll) und Leittonwechsel (z.B. C-Dur — E-Moll) bezeichnet. Es ist eine erstaunliche Eigenschaft der Dur- und Moll-Dreiklänge, dass diese Dreiklangs-Verbindungen mit kleinsten Tonhöhenänderungen (bis auf Oktaven) korrespondieren.

Unter den vielen möglichen Dreiklangs-Pfaden, die man aus der Aufeinanderfolge von Quintwechseln, Terzwechseln und Leittonwechseln gewinnen kann, sind diejenigen von besonderem Interesse, bei denen sich je nur zwei dieser Verbindungstypen miteinander abwechseln. Diesen entsprechen drei verschiedene Richtungen auf dem Dreiklangspolyeder. Alle drei tauchen vereinzelt in der Musik des 19. Jahrhunderts auf.

1. Terzwechsel und Leittonwechsel

Abbildung 8: Terzwechsel und Leittonwechsel

Diese Dreiklangsfortschreitung erreicht alle 24 (enharmonisch identifizierten) Dur- und Moll-Dreiklänge. Im 2. Satz der 9. Sinfonie von Ludwig van Beethoven gibt es eine Passage (Takte 143–176), bei der 19 Dreiklänge tatsächlich durchlaufen werden.

2. Quintwechsel und Leittonwechsel

Abbildung 9: Quintwechsel und Leittonwechsel

Diese Dreiklangsfortschreitung erreicht genau 6 von den 24 enharmonisch identifizierten Dur- und Moll-Dreiklängen. Diese bestehen auch insgesamt aus 6 Tönen, weshalb man hier auch vom hexatonischen Zyklus spricht. Das Klavierstück Consolations 3 von Franz Liszt durchläuft (mit Ausnahme eines Akkordes) den hexatonischen Des-Dur-Zyklus. Hier stehen die Dreiklänge für tonale Regionen, die in diesem Stück berührt werden: Des-Dur, F-Moll, F-Dur, A-Moll, A-Dur, (Des-Moll wird übersprungen), Des-Dur.

3. Quintwechsel und Terzwechsel

Diese Dreiklangsfortschreitung erreicht genau 8 von den 24 enharmonisch identifizierten Dur-und Moll-Dreiklängen. Diese bestehen auch insgesamt aus 8 Tönen, weshalb man hier auch vom oktatonischen Zyklus spricht. Die Ouvertüre zu Rosamunde (Andante Takte 1–48) Op. 26 / No. 1 von Franz Schubert durchläuft einen solchen Zyklus: C-Moll, Es-Dur, Es-Moll, Ges-Dur, Fis-Moll, A-Dur, A-Moll, C-Dur. Auch hier stehen die 8 Dreiklänge für tonale Regionen, die in diesem Stück berührt werden.

Abbildung 10: Quinten- und Terzwechsel

Die folgende Abbildung 11 zeigt den Verlauf aller drei Dreiklangsfortschreitungen auf dem Dreiklangspolyeder.

Abbildung 11: Dreiklangsfortschreitungen auf dem Dreiklangspolyeder