Der gestauchte Kreis

Abbildung 1: Das Exponat im Ausgangszustand

Wie die vorstehende Abbildung 1 zeigt, besteht das Experiment am Exponat „Der gestauchte Kreis“ darin, eine kreisförmige Feder mittels zweier (zunächst vertikal und parallel verlaufender) drehbarer Hebel so aufzubiegen, dass ihre Form in der Endstellung (siehe nachfolgende Abbildung 2) eine Strecke von Punkt A nach Punkt B darstellt.

Abbildung 2: Das Exponat im Endzustand

Hierbei ist

    \[\lvert\overline{AB}\rvert=2\lvert\overline{AC}\rvert=2\lvert\overline{BC}\rvert=2\pi r\]

die Länge des Umfanges des Kreises, den die Feder ursprünglich bildete. Darüber hinaus gilt: Der Flächeninhalt F_\Delta des rechtwinkligen Dreieckes \Delta mit den Eckpunkten M, B und C (siehe Abbildung 1) ist gleich der halben Kreisfläche, d.h.

    \[F_\Delta=\frac{1}{2}\pi r^2.\]

Damit kann der Flächeninhalt \pi r^2 eines Kreises mit dem Radius r durch die Summe der Flächeninhalte zweier kongruenter Dreiecke dargestellt werden.


Und nun … die Mathematik dazu:

Abbildung 3: Mechanismus des Exponats

Werden die beiden Hebel jeweils um den Winkel \varphi gegen die vertikale Achse gedreht, so ergibt sich auf der rechten Seite der Berührungspunkt (x_0,y_0) zwischen dem rechten Hebelarm und dem aufgebogenen Kreis. Letzerer stellt sich nun als Kreisbogen mit dem Radius r^\ast und dem Öffnungswinkel \varphi^\ast (in Bogenmaß!) dar. Somit gilt

    \[\pi r=r^\ast\varphi^\ast\quad(1)\]

und

    \[x_0^2+(r^\ast-y_0)^2=(r^\ast)^2\quad(2).\]

Entsprechend obiger Abbildung 3 gilt für die Geraden y_1 und y_2:

    \[y_1\colon y_1(x)=r+\tan(\pi/2-\varphi)x\]

und

    \[y_2\colon y_2(x)=r^\ast+\tan(\pi/2+\varphi^\ast)x.\]

Ihr Schnittpunkt (x_0,y_0) ergibt sich dann als Lösung der Gleichung

    \[y_0\coloneqq y_1(x_0)=y_2(x_0)\]

d.h.

    \[r+\tan(\pi/2-\varphi)x_0=r^\ast+\tan(\pi/2+\varphi^\ast)x_0\]

und somit

    \[x_0(\tan(\pi/2-\varphi)-\tan(\pi/2+\varphi^\ast))=r^\ast-r.\]

Daraus resultiert entsprechend Gleichung (1):

    \[x_0=\frac{r^\ast-r}{\tan(\pi/2-\varphi)-\tan(\pi/2+\varphi^\ast)}=r\frac{\pi/\varphi^\ast-1}{\tan(\pi/2-\varphi)-\tan(\pi/2+\varphi^\ast)}\]

und somit

    \[y_0=r+\tan(\pi/2-\varphi)x_0=r+\tan(\pi/2-\varphi)r\frac{\pi/\varphi^\ast-1}{\tan(\pi/2-\varphi)-\tan(\pi/2+\varphi^\ast)}.\]

Die Gleichungen (1) und (2) liefern dann

    \[x_0^2+(r^\ast-y_0)^2=(r^\ast)^2=\frac{\pi^2 r^2}{(\varphi^\ast)^2}\]

und somit

    \[x_0^2+\left(\frac{\pi r}{\varphi^\ast}-y_0\right)^2=\frac{\pi^2 r^2}{(\varphi^\ast)^2},\]

was nach Ausmultiplizieren und Kürzen auf

    \[x_0^2-\frac{2\pi r y_0}{\varphi^\ast}+y_0^2=0\]

führt. Das heißt nun

    \begin{gather*} \left(r\frac{\pi/\varphi^\ast-1}{\tan(\pi/2-\varphi)-\tan(\pi/2+\varphi^\ast)}\right)^2\\ -\frac{2\pi r}{\varphi^\ast}\left(r+\tan(\pi/2-\varphi)r\frac{\pi/\varphi^\ast-1}{\tan(\pi/2-\varphi)-\tan(\pi/2+\varphi^\ast)}\right)\\+\left(r+\tan(\pi/2-\varphi)r\frac{\pi/\varphi^\ast-1}{\tan(\pi/2-\varphi)-\tan(\pi/2+\varphi^\ast)}\right)^2=0.\end{gather*}

Ohne Einschränkung kann folglich angenommen werden, dass r=1 ist, sodass man für einen gegebenen Öffnungswinkel \varphi (im Bogenmaß) des rechten Hebels (siehe Abbildung 3) den Öffnungswinkel \varphi^\ast des entsprechenden Kreisbogens (mit dem Radius r^\ast) als Lösung der folgenden Gleichung erhält:

    \begin{gather*} \left(\frac{\pi/\varphi^\ast-1}{\tan(\pi/2-\varphi)-\tan(\pi/2+\varphi^\ast)}\right)^2\\ -\frac{2\pi}{\varphi^\ast}\left(1+\tan(\pi/2-\varphi)\frac{\pi/\varphi^\ast-1}{\tan(\pi/2-\varphi)-\tan(\pi/2+\varphi^\ast)}\right)\\+\left(1+\tan(\pi/2-\varphi)\frac{\pi/\varphi^\ast-1}{\tan(\pi/2-\varphi)-\tan(\pi/2+\varphi^\ast)}\right)^2=0.\end{gather*}

Abschließend geben wir — numerisch als Näherungswerte ermittelt — für  \varphi_i=\frac{i}{10}(\pi/2+\varphi_0)=\frac{i}{10}(\pi/2+\arctan(1/\pi)) (i=1,\ldots,10) die entsprechenden Winkel \varphi^\ast und die Radien r^\ast an (mittels der vorstehenden Gleichung).

i\varphi_i\varphi_i^\ast\varphi_i^\ast (in Radian)r^\ast_ix_0^iy_0^i
10,18792,942168,51,0680,21482,1298
20,37602,716155,61,1570,47702,2089
30,56372,462141,11,2760,80152,2680
40,75162,179124,81,4421,18192,2647
50,93951,869107,11,6811,60702,1748
61,12741,53487,92,0482,04771,9726
71,31531,17667,42,6712,46561,6441
81,50310,80045,83,9272,81731,1908
91,69110,407123,37,7173,05550,6307
101,878900\infty\pi0
Tabelle 1: Die Werte \varphi^\ast und r^\ast in Abhängigkeit von \varphi

Die nachfolgende Abbildung 4 fasst dies in einem Diagramm zusammen.

Abbildung 4: Diagramm, das die Punkte (x_0,y_0) für die verschiedenen Öffnungswinkel zeigt

Anmerkung: Dieses Exponat steht in enger Verbindung zu den Exponaten „Was ist Pi?“, „Wie groß ist die Fläche eines Kreises?“ und „Zwölf Ecken“.


Literatur

[1] https://de.wikipedia.org/wiki/Kreis#Kreisfläche

[2] https://www.youtube.com/watch?v=2wL_dIDTc3w