Beweis ohne Worte: Zwölf Ecken

Hier geht es wieder um einen Beweis ohne Worte und die Kreiszahl \pi. Wie groß ist die Fläche eines regelmäßigen Zwölfecks, das einen Umkreis vom Radius r=1 hat? Das Puzzle, das Du vor Dir liegen hast, liefert in verblüffend einfacher Weise eine Antwort: Lege die Teile so zusammen, dass sie drei gleichgroße Quadrate der Kantenlänge eins bilden. Da aus Zerlegunsgleichheit die Inhaltsgleichheit folgt, muss also die Fläche des gegebenen Zwölfecks genau A=3 sein. Dies ist auch nahe an der Kreiszahl \pi, was ja die Fläche des Einheitskreises ist (und 3\lt\pi).


Und nun … die Mathematik dazu:

Wir können die Fläche des regelmäßigen Zwölfecks einfach ausrechnen. Dabei ist allerdings nicht gleich ersichtlich, warum diese eine so schöne ganze Zahl ergibt. Trotzdem wollen wir dies hier kurz tun. Dazu teilen wir das Zwölfeck in zwölf gleich große Sektoren auf — wie in nachfolgender Abbildung 1. Jeder dieser Sektoren ist ein gleichschenkliges Dreieck, dessen Winkel an der Spitze gleich \alpha=2\pi/12=\pi/6 beträgt. Dieses setzt sich aus zwei gleichen rechtwinkligen Dreiecken zusammen, deren Hypotenuse die Länge r=1 hat und die je einen spitzen Winkel von \alpha/2=\pi/12 haben (sie stoßen entlang der Winkelhalbierenden von \alpha zusammen). Die Fläche eines dieser Dreiecke A_\Delta ist somit gegeben durch

    \[A_\Delta=\frac{a\cdot h}{2},\]

wobei a die Länge der Grundseite — also a=\sin(\alpha/2) — ist und h die Höhe — also h=\cos(\alpha/2). Damit erhalten wir

    \[A_\Delta=\frac{\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)}{2}.\]

Nun können wir das Additionstheorem für den Sinus verwenden und erhalten auf diese Weise

    \[A_\Delta=\frac{2\sin(\alpha/2)\cos(\alpha/2)}{4}=\frac{\sin(2\alpha/2)}{4}.\]

Aber wie groß ist der Sinus des Winkels \alpha? Dazu beobachtet man, dass der Innenwinkel an jeder Ecke eines gleichseitigen Dreiecks genau \pi/3=60^\circ ist, also genau das doppelte von \alpha. Damit ist der Sinus von \alpha genau 1/2, denn dies ist das Verhältnis, in dem eine Winkelhalbierende in einem gleichseitigen Dreieck die gegenüberliegende Seite schneidet.

Der Sektor mit der Spitze des Winkels \alpha hat also genau die Fläche A_{S}=2A_\Delta=2\cdot1/2\cdot1/4=1/4.

Nehmen wir also alle zwölf Sektoren zusammen, erhalten wir für das Zwölfeck genau eine Fläche von 12\cdot 1/4=3.

Aber warum ist nun diese Fläche eine so schöne Zahl? Nun — dies hat mit den schönen Eigenschaften des Winkels \alpha=\pi/3=60^\circ zu tun, denn über diesen bekommen wir den Wert \sin(\alpha)=\sin(30^\circ)=1/4. Zumindest ist das der Grund in der obigen Rechnung.

Abbildung 1: Das Exponat „Zwölf Ecken“

Wenn Du allerdings einen anschaulicheren Grund suchst, dann können wir hier nur auf die Erklärung verweisen, die das Exponat selbst liefert. Es sei an dieser Stelle bemerkt, dass das Quadrat und das Zwölfeck die einzigen regelmäßigen Polygone sind, die bei einem Umkreisradius von r=1 einen Flächeninhalt aufweisen, der eine rationale Zahl ist. Der Flächeninhalt eines jeden solchen Polygons ist allerdings stets eine algebraische Zahl. Ein berühmter Satz des Mathematikers Carl Friedrich Gauß besagt, dass ein solches regelmäßiges n-gon genau dann mit Zirkel und Lineal konstruierbar ist, wenn die Zahl n sich schreiben lässt als n=2^k p_1\cdots p_l, wobei k\geq 0 eine ganze Zahl ist und p_1,\ldots,p_l sogenannte Fermat-Primzahlen sind (das sind solche Primzahlen, die sich als p=2^{2^e}+1 schreiben lassen, benannt nach dem Mathematiker Pierre de Fermat). Dies hängt damit zusammen, dass \sin(\alpha) mit \alpha=2\pi/n genau für diese Werte n eine sogenannte konstruierbare Zahl ist — also eine solche, die sich als Ausdruck mit nur ganzen Zahlen, +, - und Quadratwurzeln \sqrt{\cdot} darstellen lässt.


Literatur

[1] https://de.wikipedia.org/wiki/Regelmaßiges_Polygon

[2] https://de.wikipedia.org/wiki/Konstruierbares_Polygon

[3] https://de.wikipedia.org/wiki/Zwölfeck#Regelmäßiges_Zwölfeck